量子信道史探

近来学习量子信道理论，发现以 Stinespring 扩张定理统摄量子信道最为自然。从这一数学结果出发，导出 Kraus 的算符求和表示、蔡（Choi）-Jamiołkowski 的对偶，都是顺理成章。然而，仔细检查这几人工作的时间线，我发现最早的竟然是 1955 年 Stinespring 的文章，Kraus 的文章在 1971 年，Jamiołkowski 的文章在 1972 年，而蔡文端的文章在 1975 年。

我感到困惑，从 Stinespring 的扩张定理到 Kraus 的表示，到蔡文端、Jamiołkowski 的对偶同构，数学上几乎没有障碍，可是为什么其间相隔近 20 年，且后几人仍被量子信息学界广泛认为有重要贡献呢？带着这些疑惑，我开始考察相关的科学史，一部波澜壮阔的数学-物理二重奏遂呈现在我的眼前。

算子代数

1930 年，Dirac 发表了旷世巨著《量子力学原理（The Principles of Quantum Mechanics）》，建立了现代量子力学的基本语法。这本书对于刚从波动力学和矩阵力学的纠葛中理出头绪的物理学家来说，已经是足够先进的数学了，然而 von Neumann 看了却直摇头。两年以后，von Neumann 发表《量子力学的数学基础》，将量子力学置于 Hilbert 空间这一坚实的数学基础之上。算子代数作为一个数学的研究领域，就呱呱坠地了。

1943 年，Gelfand 和 Naimark 抽象出了 C*-代数的概念，并证明了任何抽象的 C*-代数都可以表示为 Hilbert 空间上的算子代数。1947 年，Segal 证明 C*-代数上的一个正线性泛函可以诱导出一个 Hilbert 空间上的表示。这就是著名的 GNS 构造。此时，作为数学的算子代数羽翼渐丰，产生了一个独立于物理学的纯数学社群。1955 年，Stinespring 的工作相当于推广了 Segal 的表示定理，建立了 C*-代数到 Hilbert 空间上算子代数完全正映射的表示定理。在 Gelfand 和 Naimark 1943 年的文章中，以及 Stinespring 1955 年的文章中，「量子」一词根本不曾出现。Segal 1947 年的文章提到了量子力学的动机，我们后面会提到，此时物理学内部另一场狂欢正在逐渐拉开帷幕。

在我们的故事中，沿着纯数学的方向继续发展的，是 Jamiołkowski 和蔡文端。Jamiołkowski 1972 年的文章研究了保迹的半正定映射，提出了后来为人所熟知的对偶。注意他关心的是半正定映射的条件，更多是在研究一个纯粹的线性代数问题。同一时期蔡文端的工作似乎更重要一些，他建立了有限维线性空间上完全正定的充分必要条件。他的定理表明，我们不需要检查所有可能的辅助空间来确保完全正定，检查和原空间一样大的一个空间就足够了，甚至检查一个特殊的算子就足够了。蔡文端的文章里也没有出现「量子」一词，他关心的也只是代数。从当时的视角看，Jamiołkowski 和蔡文端的工作不能算是 GNS、Stinespring 那一类开天辟地的工作，而更像是处理一些必要的技术问题。如果没有后面的故事，他们的工作可能会被淹没在算子代数浩繁的卷帙中，成为只有少数专家了解的高深学问。可是 von Neumann 在算子代数和量子物理之间引入的「纠缠」，正在逐步发挥作用，并将彻底改变他们的曝光度。

值得一提的是，Choi 这一拉丁化拼写常用作韩国汉姓「崔」，但 Man-Duen Choi 是不折不扣的华人，是香港中文大学的优秀校友。这里的 Choi 实际上是粤语「蔡」的拉丁化。

量子场论

在算子代数往纯数学的方向一路狂飙之时，物理学内部的野蛮生长也不遑多让。Dirac 之后，物理学家已经意识到了量子电动力学中存在的无穷大发散问题。1947 年，面对 Lamb 位移的挑战，Feynman、Schwinger 和朝永振一郎开始了他们修补量子电动力学的疯狂旅程。最终，他们用了一套魔术般的计算操作，即正规化、重整化，处理掉了场论微扰计算中的发散问题，完美导出了实验结果。他们三人于 1965 年获得了诺贝尔物理学奖。1954 年，杨振宁和 Mills 将量子电动力学的场论语言推广到非阿贝尔规范场的情况，而这一理论的重整化问题，将在 1972 年被 Veltman 和 ’t Hooft 以更为神奇的维数正规化方法解决。最终，到了 1970 年代，在场论学家和实验物理学家的前赴后继之下，粒子物理标准模型宣告落成，高能物理学这一人类认识微观世界的学问，进入到「盛宴」的高潮。

这是一个让今天的物理学家缅怀甚至嫉妒的时代。即使是还原论最激进的反对者，也不会拒绝将粒子物理标准模型视为物理学乃至人类文明的一座高峰。然而，在量子场论蓬勃发展、捷报频传的同时，另一群人正在以谨慎的眼光审视着这场狂欢。如果说此前人类的物理理论如同一位体面而优雅的绅士在高楼上凭栏远眺，那么量子场论就像一个三头六臂的怪物在悬崖边跳舞。散射态、微扰展开、正规化、重整化，每一步似乎都在不良定义、发散这些数学的深渊旁试探，却又最终回到了安全的地面，给出收敛甚至正确的结果。

首先出手的是 Wightman。1956 年，Wightman 发表了公理化量子场论的提案，试图以洛伦兹协变性、谱条件以及局部因果性为出发点，行 von Neumann 故事，将量子场论建立在严格的数学之上。他没有完全成功。1964 年，Haag 与 Kastler 提出代数量子场论（AQFT）的核心思想，将关注的重心从虚无缥缈的「场」转移到「可观测量」。于是，算子代数又一次试图规范人类的物理学理论。

在这一 C*-代数荣归故里的背景下，Kraus 着手研究如何用数学家已经发展了二十余年的理论系统地描述量子态的演化。1971 年，他发表了《量子理论中一般性的态变化（General state changes in quantum theory）》。从文章题目就能看出，Kraus 关心的核心问题是物理的：一个量子态最一般的演化是什么？对于一个纯态，人们很早就知道有幺正演化和测量，可是对于混态呢？对于一个子系统呢？Kraus 敏锐地意识到 Stinespring 研究的完全正定映射是描述一般的量子态演化的合适工具，并基于 Stinespring 的定理导出了后来赫赫有名的算符求和表示。不难看出，算符表示本身没有任何稀奇之处，这篇文章的核心贡献在于将「出走」后算子代数的成果请回了量子物理，找到了描述量子态演化最合理的数学语言。文章中 Kraus 讨论的应用仍然是有关场论的，但是文章带来的影响却不限于场论。此后，完全正定映射成了开放系统演化问题理所当然的出发点。1976 年，Gorini–Kossakowski–Sudarshan 与 Lindblad 独立提出了著名的主方程，标志着开放系统的量子动力学这一领域走向成熟。1983 年，Kraus 出版了一本关于量子理论的基础概念的专著。在这本书中，Kraus 系统建立了描写量子操作的数学语言。

不难想象在粒子物理狂欢的时代里，这群奇怪的数学爱好者不可能生活在学术舞台的聚光灯下。在 1983 年专著的作者自序里，Kraus 提到该书的内容还未在一般教科书中出现过，也提到他预设读者不仅对量子理论在具体物理问题上的应用感兴趣，而且对量子理论的一般结构和物理阐释感兴趣。他的语言很克制，但是是否也隐约有种高能物理盛宴的边缘人坚守立场的防御性姿态呢？

量子信息

我们无法想象 1980 年代初的 Kraus 是否会意识到，另一场历史的风暴正在此时逐渐积蓄力量。这场风暴将借助 von Neumann 在代数和量子之间引入的纠缠，将 Kraus、Jamiołkowski、蔡文端这几个名字从「显学」的边缘投影到学界众所周知的状态。

1981 年，Kraus 还在整理自己的讲义准备交付 Springer 出版，而天马行空的 Feynman 则发表了那场注定载入史册的演讲：让我们用量子系统来研究量子系统吧。

1984 年，Bennett 和 Brassard 提出了 BB84 协议，他们将在 2026 年获得图灵奖。

1985 年，David Deutsch 提出了通用量子图灵机，1989 年他定义了量子线路。1993 年姚期智严格证明了量子线路和量子图灵机等价。

1994 年，Shor 提出了质因数分解的量子算法……

后面的故事，今天的学者已经熟知。

结语

今天，一个浸淫在现代量子信息语言中的学者也许会提问：Kraus 算符完全是 Stinespring 扩张定理的直接推论，为什么要以他的名字命名呢？我们会讲，这是一个漫长的故事，故事有关算子代数的出走与回归，有关盛宴边缘自得其乐的学者，有关时代激荡下不同领域的兴起和衰落。